"איה סופר את המגדלים"
התבוננות במתמטיקה של קנטור
ב"ה
"איה סופר את המגדלים"
התבוננות במתמטיקה של קנטור
י"ד מנחם־אב תשפ"ד – הדסה עין כרם (טלפונית).
נדפס בגליון ראה תשפ״ד. תודה גדולה למתמטיקאים ד"ר עדי שי' ירדן ויצחק שי' זאנגי־כהן ולר' ינון־שלום שי' גלעדי על העזרה הרבה בליבון הדברים (על אף שלא הגענו לדיוק הראוי לדבריהם, ועמנו תלין משוגתנו).
קיצור מהלך השיעור
בחזון 'המכללה התורנית', איחוד התורה והמדע, תופסת המתמטיקה מקום מיוחד – מחד, היא 'שפת המדעים', וממילא המפתח לכל חיבור עם המדע, ומאידך היא מצטיינת בהיותה המבוררת, המוחלטת והאמתית יותר מכל שאר תחומי המדע. השיעור שלפנינו הוא דוגמה למפגש מעמיק עם נושא עיקרי במתמטיקה המודרנית – תורת הקבוצות של קנטור – מתוך מבט תורני פנימי. הנושא, אין־סוף, הוא נושא מובהק של השקה בין המתמטיקה לעולמות הרוח הפנימיים. זו דוגמה יפהפיה לכך שבאיחוד התורה והמדע קיימת הפריה הדדית – התיאוריה מעוררת השראה לחידושי תורה והתורה נופחת רוח־חיים, תוכן ומשמעות, בהיגדים המדעיים ה'סתמיים'.
פרק א בשיעור, מציג את נקודת־המוצא המעניינת להתבוננות ואחר כך נותן בעיקר מבט פנימי על ההיסטוריה והנפשות הפועלות. פרק ב צולל לעומק המושגים המתמטיים (בניסוח השטחי האפשרי בגבולות הפורמט ובמגבלות העורך...), עם 'נגיעות' ראשונות למגמת העיסוק באין־סוף של קנטור – הכנסת ה"אורות דתהו" ב"כלים דתיקון". פרק ג הוא עיקר הדרוש הפנימי, המוצא פסוק הרומז למדרגות האין־סוף בהן עסק קנטור ומקשר את הכל להתפתחות תורת הקבלה מקבלת הראשונים עד תורתו של משיח (ומוסיף עוד כמה 'תופיני התבוננות' יפהפיים העולים מהדברים).
זהו שיעור הדורש 'החזקת ראש', אך מי שיעמיק בו יזכה לדוגמה מעוררת התפעלות של חיבור תורה ומדע ולהשראה מופלאה של "שאו מרום עיניכם" – התרוממות מעלה־מעלה בה האין־סוף הוא רק נקודת ההתחלה...
א. התאוריה החסידית של קנטור
בלי־גבול לאמתתו
בשבת ואתחנן למדנו בבית הרפואה את ה"דבר מלכות" לפרשה[1]. הרבי מדבר שם על המונחים "בלי־גבול" ו"בלי־גבול לאמתתו". כלומר, הוא מחלק בין שני סוגי בלי־גבול[2]. הוא אומר שה"נחמה בכפלים"[3], "נחמו נחמו"[4], היא לא פעמיים אלא בלי־גבול, "כפלים לתושיה"[5]. הוא מסביר שהחזרה הכפולה של אותה מלה בדיוק רומזת דווקא ל"בלי־גבול לאמתתו".
אם הכפל היה כמו "פתֹח תפתח"[6], שחז"ל דורשים "אפילו מאה פעמים"[7], גם היה כאן בלי־גבול, אבל לא לאמתתו – השינוי בצורה הדקדוקית, בכתיב ובקרי, עושה שהבלי־גבול הוא לא לאמתתו. אבל דווקא הכפל של אותה מלה באופן זהה, בכתיב ובקרי, מעיד על בלי־גבול לאמתתו. הרבי מוסיף ש"נחמו נחמו עמי" הוא כמו "אנכי אנכי הוא מנחמכם"[8] – גילוי ה"אנכי" של מתן תורה, גילוי האין־סוף מארבע רוחות העולם[9] (ובאופן של "בלי־גבול לאמתתו", בכפל של המלה "אנכי").
צריך להבין לעומק את כוונת הרבי, מדוע השינוי בכפל אומר שזהו בלי־גבול לא לאמתתו והכפל המדויק אומר שזהו בלי־גבול לאמתתו, וננסה להסביר זאת בהמשך. בכל אופן, יוצא כאן שיש שלש מדרגות – גבול, בלי־גבול (עדיין לא לאמתתו) ובלי־גבול לאמתתו[10]. זו חלוקה יפהפיה, שמעוררת התבוננות לפי מושגים שקיימים היום במדע.
הממד היהודי של קנטור
לאחרונה מישהו שאל לגבי התאוריה של המתמטיקאי קנטור, שהסביר שיש הרבה סוגים של אין־סוף, של בלי־גבול, והביא ציטוט מאדמו"ר הצמח־צדק[11], שמביא בשם ספרי החקירה שלא יתכן שיש דרגות שונות של בלי־גבול – שאם מדובר בבלי־גבול יש רק בלי־גבול אחד. הצמח־צדק מצטט שם דעתם של בעלי חקירה, אבל זו דעה אחת במתמטיקה[12], שכנראה היום כבר אין מי שמחזיק בה. רובם ככולם של הגדולים בתחום כבר לא סוברים ככה, אלא קבלו את התאוריה של קנטור, שיש אין־סוף סוגים של אין־סוף, אין־סוף אין־סופים. המושגים שהרבי מזכיר בדבר מלכות מתאימים דווקא לגישה הזו[13]. זהו נושא מרתק, שיש בו הרבה מאד דברים יפים. דברנו עליו בעבר[14], וכעת נוסיף עוד התבוננות.
נראה שלקנטור היו שרשים יהודיים, ומציינים שגם שם המשפחה שלו הוא יהודי. לפי חלק מהחוקרים, בשביל הנאצים הוא היה יהודי גמור, כי היו לו שלשה סבים יהודים – שני ההורים של אביו היו יהודים שהמירו את דתם, מהקהילה הספרדית בקופנהגן, וגם הורי אבי־אמו היו יהודים שהמירו את דתם. אבל ההורים של אם־אמו לא היו יהודים, כך שלפי ההלכה הוא לא היה יהודי, ובעקבות המרות הדת הוא גם גדל כנוצרי. בכל אופן, "לא ידח ממנו נדח"[15], ועם כל השרשים היהודיים שלו באיזה שלב הוא יעשה תשובה ויתגייר כהלכה...
בכלל, הוא האמין באלקים וטען שהתגליות שלו בעניני האין־סוף היו גילוי אלקי. אבל ההוכחה הכי חשובה שהוא מזדהה עם התורה ועם היהדות היא שהוא קרא לאין־סוף א, ועד היום הזה הסימן במתמטיקה של אין־סוף הוא האות א[16]. אם יש הרבה מדרגות של אין־סוף מסמנים אותן 0א, 1א, 2א וכו', עד אין־סוף. ידוע שהתורה מתחילה ב־ב, זהו כבר צמצום – "בראשית ברא אלהים". ה־א היא לפני הצמצום, אין־סוף, והיא התגלתה רק במתן תורה – ב"אנכי הוי' אלהיך"[17], שהוא באמת גילוי של אור אין־סוף (וכמו שהזכרנו קודם, הרבי אומר ש"בלי־גבול לאמתתו" הוא סוד "אנכי אנכי"). המובן של אלף הוא גם המספר אלף (1000) – כבר אומר שיש הרבה א, הרבה אין־סוף, אלף אלפי אלפים מדרגות של אין־סוף.
השפעת אחוריים של הקדושה
התאוריה של קנטור מנוגדת לאינטואיציה של השכל האנושי, אפשר לומר שהיא מנוגדת לשכל של הנפש הבהמית. המנגד הכי גדול שלו בזמנו היה קולגה, שהיה גם מורה שלו, בשם קרונֶקר, שהיה לגמרי יהודי. היו שכתבו שכאשר שני יהודים מתקוטטים זהו ברוֹך רציני... אותו קרונקר חי כיהודי כמעט כל חייו, אבל בשנה האחרונה לפני שהוא מת המיר את דתו. הסברא שלי, קצת ללמד זכותו, היא שהוא עשה זאת כי רצה להקבר עם המתמטיקאים הגדולים של ברלין (כפי שאכן היה). צריך לראות אם מישהו מעלה את ההשערה הזו.
בכל אופן, ידוע אצלנו[18] – כלל גדול – שכל מה שמתפתח בעולם, במדע ובאמנות, הוא השפעת אחוריים של מה שמתחדש ביהדות. זה נכון במיוחד אחרי שנת שש מאות לאלף הששי, בה נפתחו ארובות השמים של החכמה העליונה, חכמת התורה, וגם מעינות תהום של החכמה התחתונה, החכמה האנושית, כנבואת הזהר[19].
החידוש העיקרי ביהדות הוא החסידות, יותר ממאה שנה לפני המחלוקת של קנטור וקרונקר, ויש לחידוש הזה המון השפעת אחוריים (לדוגמה, הסברנו הרבה פעמים שהמוזיקה של בטהובן היא צד האחור של הניגונים החסידיים). גם כאן, המחלוקת היא בעצם השפעה בדרך אחור של המחלוקת בין החסידים והמתנגדים. קנטור הוא בשבילנו עכשיו האחוריים של החסידות וקרונקר הוא ה'מתנגד' (התיקון של קנטור הוא להתגייר, השלב הבא של חסידי אומות העולם, והתיקון של קרונקר הוא לא להמיר את דתו, לא להיות "עומק מתנגד אפיקורס"[20]).
ה'מתנגד' הזה לא מאמין בהרבה אין־סוף. אפילו לגבי אין־סוף אחד יש אצלו שאלה האם יש במציאות אין־סוף בפועל (ולא רק בתאוריה)[21]. ידוע מה שהרבי מעיר[22] שכתוב בחסידות שיש במציאות בפועל אין־סוף דברים ביקום, ומקשה איך תתכן מציאות של אין־סוף. בכל אופן כך כתוב – לא בקבלה אלא דווקא בחסידות. חסיד מבין שאם יש במציאות הגשמית אין־סוף אחד, יכולים להיות גם כמה אין־סוף (כמובן, הכוונה כאן לאין־סוף של ריבוי פרטים, ולא לאין־סוף ככינוי לה' – אין־סוף ב"ה – וראה עוד לקמן).
ב. אקסיומת האין־סוף ואקסיומת הבחירה
תורת הקבוצות וקיבוץ גלויות
קנטור הוא אבי תורת הקבוצות, תאוריה שעומדת כבסיס (כמעט כל) המתמטיקה המודרנית בכלל. יש קבוצות בהן יש מספר מוגבל של דברים, אבל יש גם קבוצות של אין־סוף. כל אין־סוף, בתאוריה של קנטור[23], הוא בעצם קבוצה. המושג קבוצות שייך לקיבוץ גלויות.
משה רבינו אומר לבני ישראל "הוי' אֱלֹהֵי אֲבוֹתֵכֶם יֹסֵף עֲלֵיכֶם כָּכֶם אֶלֶף פְּעָמִים וִיבָרֵךְ אֶתְכֶם כַּאֲשֶׁר דִּבֶּר לָכֶם"[24]. חז"ל מסבירים[25] שמשה יכול לברך משלו "אלף פעמים" ככה, אבל ברכת ה' – "כאשר דבר לכם" – היא אין־סופית, ללא קצבה וללא מנייה[26]. על קיבוץ גלויות כתוב "וְאַתֶּם תְּלֻקְּטוּ לְאַחַד אֶחָד בְּנֵי יִשְׂרָאֵל"[27] – לעתיד לבוא ה' יקבץ אותנו אחד־אחד, מכל מקום שהיינו שם, עם הגרים שיתווספו אלינו בכל המקומות בגלות (שהרי "לא הגלה הקב"ה את ישראל לבין האומות אלא כדי שיתוספו עליהם גרים"[28]). בקבוצה הזו, בקיבוץ הזה, יאיר אור אין־סוף (וראה עוד לקמן על הגעת עם ישראל למצב של "אשר לא יספר").
אין־סוף מסודר
חידוש עיקרי בתאוריה שלו הוא שיש שני סוגים עיקריים של אין־סוף. יש אין־סוף של דברים אותם אפשר לספור, כמו המספרים הטהורים, 1־2־3־4 – עד אין־סוף. זו קבוצה ספִירה, קבוצה בת־מנייה (countable set) – אין־סוף ספִיר. ביסוד של התאוריה מונחת אקסיומה שנקראת אקסיומת האין־סוף. מה פירוש? שיש לפחות אין־סוף אחד – המספרים הטהורים מ־1 עד אין־סוף. זה ודאי קשור גם לנושא שהזכרנו הרבה פעמים של מתמטיקה בדידה (discrete) לעומת מתמטיקה רציפה (continuous). אקסיומת האין־סוף מתייחסת לאין־סוף בדיד – אין־סוף שיודעים שהוא קיים (ולפי ההערה של הרבי שהזכרנו, הוא קיים גם במציאות ולא רק בתאוריה).
לאין־סוף היסודי הזה הוא קרא 0א. למה? כי הוא לא חידוש אלא נתון. מושג יסודי בתאוריה שלו הוא שיש קבוצות שאפשר לסדר אותן, כמו להעמיד בשלשות חיילים של גדוד. אם אפשר לסדר את הפריטים בקבוצה, להעמיד אותם במסדר, זו קבוצה בעוצמת 0א, כי היא הופכת להיות כמו 1־2־3 (חשוב להדגיש שהכוונה כאן ל'סדר טבעי' בדומה למספרים הטהורים, ולא למושגי 'סדר' נוספים בתיאורית הקבוצות, שיכולים להתקיים גם בקבוצות מסוגים אחרים).
יש כאן גם תופעה לשונית יפה, הקשר בין השרש ספר והשרש סדר (השינוי הוא באות האמצעית של כל שרש, פ־ד, סוד של תיקון הברית[29]). השרש ספר חשוב מאד, המושגים "עשר ספירות בלי מה"[30] ו"סופר וספר וספור"[31] בספר יצירה. בכלל, רק המושג "עשר [ספירות] שאין להם סוף"[32] מלמד אותי שיש סוגים שונים של אין־סוף. איך לעשר ספירות אין־סוף? הרי הן עשר! ההסבר שהוא שכל ספירה בפני עצמה היא אין־סוף. מה ההבדל בין הספירות? אם יש הבדל בין הספירות, המשמעות היא שיש דרגות שונות של אין־סוף, לפחות עשרה סוגי אין־סוף[33].
אין־סוף שאפשר לספור הוא אין־סוף שאפשר לסדר (בסדר במובנו הפשוט, כנ"ל). מי הוא המסדר בספירות העליונות? אנחנו מסבירים תמיד[34] שהסדר שייך לספירת היסוד – היסוד לוקח את כל הגולות, שם אותן בשורה ומוציא אותן אחת־אחת. אם כן, המקור של האין־סוף שאפשר לספור, הוא השפעה שנמשכת מהיסוד למלכות. בכל אופן, ספר ו־סדר קשורים. בלוח "היום יום"[35] מובא פתגם שיהודי 'פנימי' תמיד סופר. שם מדובר על ספירת הימים – הוא מלביש את הספירה על ממד הזמן, שלא מבזבז את הזמן ('פנימי' הוא מסודר ומייקר את הזמן[36], סופר את הזמן – יש כאן קשר בין סדר לספירה).
אין־סוף בלתי־ספִיר
הסדר הזה, הוא האין־סוף היסודי, האין־סוף של אקסיומת האין־סוף. אבל יש אין־סוף לא־מסודר, אין־סוף בלתי־ספִיר, שהוא קבוצה שאינה בת־מנייה (uncountable set)[37]. אחרי ההבחנה בין שני הסוגים הללו של אין־סוף[38], שהיא היסוד של כל התאוריה, הוכיח קנטור שיש אין־סוף סוגי אין־סוף שאינם בני־מנייה (יש לומר ששני סוגי האין־סוף הם בסוד שני סוגי האין־סוף השגורים בחסידות, אור אין־סוף הממלא כל עלמין ואור אין־סוף הסובב כל עלמין – ששרשם לפני הצמצום – כפי שהם מופיעים לאחר הצמצום)[39]. אם נחזור לדברי הרבי שפתחנו בהם, כפל שיש בו שינוי, כמו "פתֹח תפתח", מאפשר לעשות סדר וממילא למנות את הפרטים, אבל כפל ללא שינוי, כמו "נחמו נחמו", אומר שאין הבדל מדיד בין הפרטים, אי אפשר לסדר אותם וממילא אי אפשר למנות אותם.
הדוגמה הפשוטה במתמטיקה היא שקבוצת המספרים הטהורים היא בת־מנייה, כמו שהזכרנו, אבל את כל המספרים בכלל – מה שנקרא מספרים ממשיים (real numbers) – אי אפשר לספור. המספרים בני־המנייה הם המספרים השלמים, השברים (שכולם מספרים רציונאליים) והמספרים האלגבריים (לדוגמה, מספרים שמשלבים פעולת שורש, כמו ו־). אבל המספרים הממשיים כוללים גם את המספרים הטרנסצנדנטליים (כמו פאי – π ואי – e) – שאנחנו מכירים רק חלק מהם, אבל יודעים שיש מהם אין־סוף יותר מאשר המספרים הטהורים.
המספרים הממשיים הם מספר הנקודות שמרכיבות קו, אפילו קו הכי קטן. יש מחלוקת יפה בפילוסופיה של המתמטיקה האם יש קודם קו, שמוליד את הנקודות שמרכיבות אותו, או שיש קודם את הנקודות שמתחברות ומרכיבות את הקו. נקודה וקו הם לקראת שטח[40] – קו כבר יותר מתוקן מנקודה. מה באמת בא קודם? האם קודם יש קו, ואם יש קו יש אין־סוף נקודות, או שקודם יש אין־סוף נקודות וצריך לחבר אותן יחד ויוצא קו? בכל אופן, את אין־סוף הנקודות שבקו אי אפשר לספור, ואין שום דרך לסדר אותן, כי לכל נקודה יש נקודה לפניה ונקודה אחריה, ואם תאמר נקודה לפני ואחרי יש עוד נקודה באמצע ועוד נקודה באמצע.
שוב, גודלו (עוצמתו) של אין־סוף שאפשר לסדר ולספור הוא 0א, אבל את המספרים הממשיים אפילו בקטע הכי קצר של קו אי אפשר לספור, יש בו אין־סוף נקודות, ועוצמתו היא 1א. בשביל להגיע לעוד קומה של אין־סוף, 2א, ישנן שתי אפשרויות (שקולות): האחת, לקחת קבוצה מעוצמה 1א וליצור את קבוצת כל התת־קבוצות שלה. דרך שנייה היא לקחת שוב קבוצה מעוצמה 1א, ולקחת את קבוצת כל הפונקציות (ה"מיפויים") לקבוצה בת שני איברים (למשל הקבוצה שמכילה בדיוק את שני המספרים 0 ו־1). קנטור הוכיח שמקבלים קבוצה מעוצמה גדולה יותר בצורה חדשנית שנקראת על שמו – "שיטת האלכסון של קנטור" (שיש לה שימושים נוספים, דוגמת הוכחת אי־קיום של תוכניות מחשב שפותרות בעיות מסויימות).
אורות דתהו בכלים דתיקון
האין־סוף הסדור, בר־המנייה, הוא מקור עולם התיקון, מקור הסדר. המתנגד אומר שאם יש אין־סוף – אני צריך לסדר אותו. אם אפשר לסדר, אפשר גם להבין ולהשיג – את הכל הוא רוצה להבין בשכל. אם אי אפשר לסדר אותו – אני מרים ידים, אין לי מה לעשות, הוא כבר בחינה של תהו. אבל הנוסחה המשיחית היא "אורות דתהו בכלים דתיקון"[41]. תהו הוא אין־סוף שאי אפשר לספור, לכן צריך להמשיך אותו לאין־סוף שאפשר לספור. זו נשיאת הפכים – להמשיך 1א בתוך 0א. מה הכוונה?
שוב, בתהו, אין־סוף שאי אפשר לספור, יש אין־סוף אפשרויות. לפי התאוריה של קנטור אין־סוף האפשרויות הללו של האין־סוף הוא לא סתמי, לא רנדומלי, אלא הוא עצמו מסודר בעוצמות בדידות אחת מעל השניה – כמו שהגענו מ־0א ל־1א אפשר להגיע ל־2א וכך הלאה, עד אין־סוף. כלומר, את קבוצות האין־סוף של התהו, קבוצות שאינן בנות־מנייה, אפשר לסדר בקבוצה סדורה, קבוצה של תיקון.
אקסיומת הבחירה
כדי לאמת את הטענה שיש סדר בקבוצות האין־סוף שאינן בנות־מנייה צריך עוד אקסיומה במתמטיקה, שנקראת אקסיומת הבחירה. לפי האקסיומה הזו, גם כאשר יש קבוצה שמכילה אין־סוף דברים – ויש אין־סוף קבוצות כאלה – אפשר לקבוע שאני בוחר פריט אחד מתוך כל קבוצה של אין־סוף ומחבר את הפריטים שבחרתי לעוד קבוצה של אין־סוף. נשמע הגיוני, למה לא? אבל זהו דבר לא פשוט, לכן יש כאלה שמקבלים את האקסיומה הזו ויש כאלה שלא. בשביל התאוריה הפשוטה של קנטור, שיש 0א, 1א, 2א וכך עד אין־סוף – ואין משהו חוץ מזה – צריך את אקסיומת הבחירה (ששקולה לטענה שאפשר לסדר ב'סדר טוב'[42] כל קבוצה שהיא, וממילא עוצמתה של כל קבוצה ניתנת להגדרה כ־א). אם האקסיומה הזו לא נכונה, יש את כל הקבוצות שקנטור דבר עליהן, קבוצות א, אבל יש גם עוד קבוצות נוספות, עוד קבוצות של אין־סוף לא לפי הסדר המסודר הזה, כך שהאין־סופים לא מסודרים. כדי שהאין־סופים שאינם בני־מנייה יהיו מסודרים בעצמם – עיקר התאוריה שלו – צריך גם את אקסיומת הבחירה[43].
הבחירה גם רומזת לעבודת הבירורים, להוציא פרט מתוך אין־סוף פרטים, לבחור את הניצוץ שאני רוצה בו, לכן אמרנו שכל התאוריה שלו קשורה ל"ואתם תלֻקטו לאחד אחד" – שאפשר להוציא מתוך כל קבוצה באין־סוף קבוצות של גלות את הניצוץ שאנחנו רוצים ולעשות קיבוץ גלויות, קיבוץ חדש של אין־סוף שכולל גם את כל נשמות הגרים וכו'. היכולת הזו היא בחירה חפשית.
למה אני רוצה לקבל את אקסיומת הבחירה? כי אני מאמין שה' בחר – הוא בחר בעם ישראל, בחר בארץ ישראל. אקסיומת הבחירה נוגעת לעצם הלוז של היהדות, לשאלה האם יתכן שה' בחר במישהו או במשהו (ובעצם גם להשגחה הפרטית, בה ה' כל הזמן בוחר־מתייחס לפרטים מסוימים מתוך אין סוף פרטים). זו שאלה האם אני יכול לבחור באין־סוף קבוצות של אין־סוף – אני מוגבל. אבל ה' לא מוגבל, ה' הוא גם לא אין־סוף (המושג אין־סוף עצמו יוצר הגבלה, כמו שנראה תכף).
יש כאן גם הרבה פרדוקסים. אחד הפרדוקסים כאן קשור לשאלה האם אפשר להגדיר קבוצה של כל הקבוצות (כמו שדברנו[44] על 'כלל כל הכללים'). זהו פרדוקס, כי אם היה כזה דבר, יוצא שיש תת־קבוצה – קבוצה שכלולה בקבוצה של כל הקבוצות – שיותר גדולה מהקבוצה שהיא כלולה בה, שהחלק יותר גדול מהכל. יש תופעה יפה כזו גם אצלנו – החלק הגדול הוא כמו עם ישראל בין העמים, העם הנבחר, שהוא חלק מקבוצת העמים אבל גדול יותר מכולה.
הדין שבאין־סוף
להרבה פילוסופים הפריעה התאוריה הזו כי היה נראה להם שהיא פוגעת במושג של ה' – איך אתה אומר שיש אין־סוף אין־סופים? מספיק אין־סוף אחד. אנחנו נגיד הפוך, שיש כאן הסבר לפסוק הראשון בתורה. כשמתחילים לקרוא בתורה כתוב "בראשית ברא אלהים" – "אלהים" לשון רבים ו"ברא" לשון יחיד. בשם אלהים, לשון רבים, יש "אלהינו" ויש גם "אלהי האלהים"[45]. מה אומרת התופעה הזו? אני יכול לומר שאלקות היא אין־סוף, ויש אין־סוף אין־סופים, אלקים לשון רבים (כאשר "מיעוט רבים שנים"[46], שני כללי האין־סוף, האין־סוף שהוא בר־מנייה והאין־סוף שאינו בר־מנייה). הכל שייך לשם אלקים, שם של דין יחסית לשם הוי'[47] – שם הוי' הוא אחד, יחיד ומיוחד, מעל כל האין־סוף.
שוב, עיקר המחלוקת הוא על סוגי האין־סוף. אנשי האינטואיציה קבלו רק את הטענה שיש אין־סוף בן־מנייה, האין־סוף של אקסיומת האין־סוף, אבל הם לא קבלו את הטענה שיש עוד מדרגות של אין־סוף. גם לגבי האין־סוף שהם קבלו נשאלת השאלה אם הוא ישנו בפועל או שהוא קיים רק בכח.
בכלל, למה זקוקים לאין־סוף במתמטיקה הרגילה? גם משהו יפהפה: המושג אין־סוף בחשבון דיפרציאלי ואינטגרלי (calculus) ובאנליזה משמש רק בשביל להגיע לגבול (limit). צריך אין־סוף שלבים בשביל להגיע ליעד, והיעד הוא גבול – כל המושג אין־סוף משמש כמעין חץ שעולה לנקודה מסוימת. גם את ההגדרה הזו אפשר לתרגם ל"אורות דתהו", אין־סוף, שהתכלית שלהם היא "כלים דתיקון", יעד מוגדר. הגעה לגבול הזה היא כמו "בטחו בהוי' עדי עד"[48] – עדי ההגעה לעד, ליעד, שאף פעם לא מגיעים אליו בפועל אבל יודעים שהוא היעד (אם כן, זהו רק אין־סוף בכח, ולא בפועל – החזרת האין־סוף בפועל למתמטיקה, אחרי ש'טרחו' לסלק אותו ממנה בתקופה שקדמה לקנטור, היא זו שכל כך הרגיזה את מתנגדיו). היעד הוא כמו המשיח, שאנחנו רוצים שיתממש בפועל ממש, תכף ומיד ממש. בכל אופן, צריך את האין־סוף בשביל להגיע לגבול.
נסיים את הפרק ברמז: המלה העיקרית ששוה בגימטריא אין־סוף היא אור (רז). האור הוא הבריאה הראשונה, והוא מוזכר פעמיים בפסוק הבריאה "ויאמר אלהים יהי אור ויהי אור"[49]. זהו כפל שאומר דרשני, שהרי בשאר הנבראים כתוב "ויהי כן", ויש לו הסברים רבים[50]. לעניננו נדרוש ש"יהי אור" היינו אור אין־סוף שאינו בר־מנייה ואילו "ויהי אור" (אחרי 'צמצום' נוסף) היינו אור אין־סוף בר־מנייה (שכבר יש בו נגיעה להשגה ותפיסה). על הפסוק הבא, "וירא אלהים את האור כי טוב"[51], דרשו חז"ל "'כי טוב' לגנזו"[52] – את "האור" ב־ה הידיעה, האור (אין־סוף) הראשון, גנז ה' כדי שחכמי המחקר לא יכירו בו כלל (עד הדור האחרון).
ג. "איה סֹפר איה שֹקל איה סֹפר את המגדלים"
מדה, משקל ומנין
ההשראה לשיעור הזה היא גם מפסוק בתנ"ך, בנביא ישעיהו, שתפס אותי מאד כבר לפני עשרות שנים, מהפעם הראשונה שקראתי תנ"ך – "לִבְּךָ יֶהְגֶּה אֵימָה אַיֵּה סֹפֵר אַיֵּה שֹׁקֵל אַיֵּה סֹפֵר אֶת הַמִּגְדָּלִים"[53]. פשט הפסוק, לפי המפרשים[54], עוסק באימה מסנחריב, אבל כעת נבודד אותו מכל הקשר – כמו שדורשים אותו במדרשי חז"ל[55] ובספרי הקבלה[56] והחסידות[57] – ונפרש אותו על טהרת המתמטיקה.
יש בפסוק "סֹפר", "שֹקל" ושוב "סֹפר" – מה ההבדל בין סופר לשוקל? אחד הנושאים בהלכה שזכה להתייחסות מאד מיוחדת של האריז"ל, אולי יותר מכל נושא אחר בהלכה, הוא אונאה[58]. קלונקר, שביקר את קנטור, 'ביטש' אותו לחלוטין באופן שאף גרם לו לחולשה נפשית. הוא טען שקנטור הוא שרלטן מדעי שמוליך שולל את הנוער – שהוא עוסק באונאה...
באונאה מדברים על מדה, משקל ומנין[59]. בהפשטה גמורה, משקל ומנין (ספירה) – שני המושגים שמופיעים בפסוק שלנו – הם בעצם שני סוגי בלי־גבול, שני סוגי אין־סוף עליהם דברנו. מנין יכול להיות אין־סופי – 0א היינו קבוצת אין־סוף שניתן למנות, כנ"ל. לעומת זאת, משקל הוא אינו בר־מנייה – המשקלות אינם בדידים מדויקים (בלשון חז"ל[60], במנין "אפשר לצמצם" אבל במשקל "אי אפשר לצמצם", לכן בשקילה צריכים להוסיף "הכרע"[61]). אלו שני המושגים העיקריים, כאשר את המדה אפשר להסביר כגבול, משהו מוגבל ומדוד (היינו מדרגת הגבול, שקודמת לשתי מדרגות הבלי־גבול), או כעצם יכולת המדידה של רמות האין־סוף השונות (המדד א, בו נכללות כל הקבוצות, אם מקבלים את אקסיומת הבחירה, כנ"ל).
האריז"ל דורש את הגימטריאות של מדה, משקל ומנין, אבל העיקר לעניננו הוא המיקום שלהם בספירות. הוא מסביר שהכל מתייחס לחסדים שיורדים מהדעת דרך ה הקצוות – הכל יכול לרדת דרך החסד, דרך הגבורה או דרך התפארת[62]. רבי חיים ויטאל מביא[63] שתי שמועות שונות שקבלו מרבו בזמנים שונים – השמועה הראשונה היא שהמשקל בחסד, המנין בגבורה והמדה בתפארת והשמועה השניה היא שהמדה בחסד, המנין בגבורה והמשקל בתפארת. יש הגיון בכל אחת מהסברות[64], כאשר החילוף בין החסד והתפארת הוא בסוד הקשר של "יעקב אשר פדה את אברהם"[65]. על כל פנים, חשוב לענייננו שלפי שתי השמועות המנין – שהסברנו כאין־סוף היסודי, 0א – שייך לגבורה. גבורה היא כח הצמצום, המנין בו "אפשר לצמצם". שרש נשמת ה'מתנגד' בקו שמאל, הגבורה והצמצום[66], לכן הוא מסוגל לקבל רק את מה שעיניו רואות (במציאות או בתורה) ומתקבל על שכלו – רק את האין־סוף שהוא בן־מנייה (וגם אותו ספק אם בפועל או רק בכח, כנ"ל).
"איה סֹפר, איה שֹקל, איה סֹפר את המגדלים"
אחרי ההקדמות האלה נדרוש את הפסוק[67]:
הכל מתחיל "לבך יהגה אימה". אימה היא המושג הראשון בתיאור החויה של מתן תורה, שצריכה לחזור בכל לימוד – "מה להלן באימה, ביראה, ברתת ובזיע אף כאן באימה, ביראה, ברתת ובזיע"[68]. כמו שהזכרנו, במתן תורה מתגלה ה־א, "אנכי הוי' אלהיך", גילוי האין־סוף. כאשר אתה מתבונן באין־סוף – "לבך יהגה אימה" (אימה היא אותיות איה מ, רמז לסיום "איה סופר את המגדלים", תכלית ההתבוננות באין־סוף, כפי שיתבאר מיד).
אחר כך, ה"סֹפר" הראשון בפסוק, "איה סֹפר", רומז לאין־סוף הספיר, קבוצה שהיא בת־מנייה, כמו המספרים הטהורים. כל "איה" הוא כמו "איה מקום כבודו"[69], 'איה' כמו 'אין' – משהו בלתי־מושג. גם האין־סוף הספיר אינו מושג בשכל – אפשר לומר כאקסיומה שהוא קיים, אבל אי אפשר באמת לתפוס אותו, לאחוז אותו ביד (תפיסה שייכת לבינה, ומושג האין־סוף הוא למעלה מהבינה).
המדרגה הבאה, "איה שֹקל", מתייחסת כבר לאין־סוף שאיננו בר־מניה – למשקל המנוגד למנין, כנ"ל.
עיקר החידוש הוא בסיום – "איה סֹפר את המגדלים". המדרגה הראשונה היתה "איה סֹפר" – למה צריך עוד פעם "איה סֹפר"? נפרש ש"מגדלים", לשון גודל, היינו ריבוי העוצמות של אין־סוף שאינו בר־מנייה. כל "מגדל" הוא 'גודל' של אין־סוף (שיכול להכיל קבוצות רבות באותה עוצמה), ביטוי לגדולת ה' האין־סופית שלפני הצמצום (גדולה שכולה חסד, "טבע הטוב להיטיב"[70]). אם מאמצים את האקסיומה השניה, אקסיומת הבחירה, את כל אין־סוף העוצמות הללו ניתן למדוד במדד של א, לסדר־'לספור' אותן באופן שמקביל למספרים הטהורים – לחזור ל"איה סֹפר".
זהו ממש פירוש יפהפה של הפסוק הזה – שאינני זוכר כעת אם כבר אמרנו בעבר – שכולל את כל התיאוריה של תורת הקבוצות, יסוד המתמטיקה היום.
שלש הקבלות
מהמהלך הזה עולה התבוננות חדשה ועמוקה בסוד של שלש הקבלות שאנחנו תמיד מדברים עליהן – קבלת הרמ"ק, קבלת האריז"ל וקבלת הבעל שם טוב, שבסוד השתלשלות־התלבשות־השראה[71] – כשלש דרגות עולות בתחושת מהות האין־סוף (הכל במגמת "שאו מרום עיניכם"[72], "העכער און העכער [גבוה יותר וגבוה עוד יותר, היינו אין־סוף ואין־סוף גבוה ממנו], להגיע למעלה מן השכל, וזה גופא להבינו בשכל, כמו שאומר 'וראו מי ברא אלה'"[73]):
קבלת הרמ"ק, המבוססת על השתלשלות, סדר של עלה ועלול, תופסת את האין־סוף כאין־סוף היסודי, הספיר, 0א, המחולק לרצף של נקודות בודדות הקשורות זו בזו כבשלשלת.
קבלת האריז"ל, שהיא תפיסה של התלבשות – קו (ולא רק נקודות) – תופסת את האין־סוף בעוצמת 1א, קו הקודם לרצף הנקודות שבו, שהוא "המפליא לעשות"[74] לחבר את הרוחניות לגשמיות[75], התלבשות הנשמה בגוף (פלא החורג מאין־סופיות שהיא ברת־מנייה).
קבלת הבעל שם טוב, סוד ההשראה – גילוי ה"סובב" האמתי, השוה ומשוה קטן וגדול – תופסת את האין־סוף בעוצמת 2א ומעלה (עד אין סוף, "איה סֹפר את המגדלים" שאחרי ה"איה סֹפר" של קבלת הרמ"ק ו"איה שֹקל" של קבלת האריז"ל). העליה מעוצמת 1א לדרגות הבאות על ידי 'מיפוי' היא קשירת קשר בין המקרים־האברים, היינו יסוד האמונה בהשגחה פרטית (ה'סיבות' של ר' אשר פריינד זצ"ל)[76]. דווקא בעבודה מתוך תודעה ש'אין מקרה' והכרה שה' מדבר אלי בכל מה שאני חווה (בפרט כשאני חווה מספר תופעות בו־זמנית)[77] יש עליות אין־סוף[78].
יחסית, שלש הקבלות הללו הן בסדר של ה־ו־ה מלמטה למעלה[79] – המלכות (ה תתאה) נאצלה כנקודה[80], ה־ו הוא הקו כפשוטו (קו וחוט שבסוד תפארת ויסוד, קו החיים) וההשראה, שכולה שמחה ותשובה, שייכת לאמא עילאה (ה עילאה). מעל כולן תגיע תורת משיח, גילוי עצמות "הוי' אחד"[81], סוד "אחד האמת" השורה בחכמה[82], ה־י שבשם[83].
"עומדים צפופים ומשתחוים רווחים"
אחד הדברים שעולים מהתאוריה הזו הוא שאין התאמה בין צפיפות הקבוצה לשאלה האם היא ברת־מנייה – יתכן שאברי הקבוצה מסודרים בצפיפות הכי גדולה, כמו השברים, והיא עדיין ברת־מנייה ויתכן שהם מפוזרים מאד, כמו הכוכבים ברקיע, ובכל זאת זו קבוצה לא ברת־מנייה.
מכאן יוצא פירוש יפה לאחד הנסים בבית המקדש, שהתרחש כאשר עם ישראל עלה לרגל – "עומדים צפופים ומשתחווים רווחים"[84]. "עומדים צפופים" הוא עדיין בגדר אין־סוף שהוא בר־מנייה, אבל ב"משתחוים רוחים" כבר מתגלה אין־סוף שאיננו בר־מנייה. בחסידות מוסבר[85] ש"עומדים צפופים" שייך לחכמה, האין־סוף הספיר (שיש בו עוד 'נגיעה' של השכל), אבל "משתחווים רווחים" שייך לכתר, האין־סוף הבלתי־ספיר (שבגדר התהו, כינויו של הכתר[86], שהוא לגמרי למעלה מהשכל).
חז"ל אומרים[87] שכאשר "אין עושין רצונו של מקום" עם ישראל הוא בגדר "מספר" אך כאשר "עושין רצונו של מקום" נאמר בעם ישראל "אשר לא יספר מרֹב"[88]. לפי המדובר עד כה אפשר לפרש לא רק ש"מספר" הוא מוגבל ו"אשר לא יספר" הוא אין־סוף, אלא שמדובר בשתי מדרגות האין־סוף – ב"עומדים צפופים" אנחנו עדיין בגדר "אין עושין רצונו של מקום" אבל ב"משתחווים רווחים" אנו כבר "עושין רצונו של מקום" (מתאים למבוארפה שהמדרגה הראשונה היא בגדר "בטול במציאות" והשניה "בטול במציאות ממש", ודוק).
עם ישראל והלבנה
נחזור ונסיים ל"דבר מלכות" בו פתחנו. בהמשך הדברים הרבי מביא שבני ישראל "מונין ללבנה", "דומין ללבנה"[89] ו"עתידים להתחדש כמותה"[90]. גם את שלש המדרגות הללו אנחנו יכולים להקביל באותו אופן:
"מונין ללבנה" מתקשר, כמובן, למושג המנין – לאין־סוף שהוא בר־מנייה. "מונין ללבנה" שייך לממד הזמן, שאפשר לדון האם אפשר לחלק אותו לרכיבים שלא ניתן לחלק יותר (ואזי הזמן הוא בר־מנייה) או שאפשר לחלק אותו עד אין סוף (ואז הוא אינו בר־מנייה). זו שאלה שקשורה להרבה שאלות היום בפיזיקה. המנין ללבנה, שהופך את הזמן למשהו שאפשר למנות, הוא עוד מושג חשוב היום בפיזיקה – קוונטה, הפיכת משהו רציף לבדיד.
עיקר החידוש כאן הוא בהסבר של "דומין ללבנה". כתוב על הריבוי של בני ישראל "שאין דעתן דומה זה לזה ואין פרצופיהן דומין זה לזה"[91] ואף על פי כן כולם "דומין ללבנה" – כל הרסיסים של עם ישראל דומים ללבנה. כלומר, הלבנה עצמה מקבלת אין־סוף צורות שונות – גם במציאות, כשהיא עוברת את השלבים השונים שלה. צריך לומר שהמעברים של הלבנה, החלקים השונים של התהליך שלה במשך כל החדש, הם בגדר קבוצה שאינה בת־מנייה, אין בה סדר מובהק ("ירח לא ידע מבואו"[92]). לכן ה"דומין ללבנה" מבטא את האין־סוף מהעוצמה של 1א ומעלה, אין־סוף שאינו בר־מנייה.
לפי זה, "עתידים להתחדש כמותה" רומז כבר למדרגה השלישית, "איה סֹפר את המגדלים" – השלמות של אין־סוף אין־סופים, שבכל זאת אפשר לעשות בהם סדר (להכניס את כל העוצמות, האורות דתהו, בכלים של תיקון), שלמות שתתגלה לעתיד לבוא.
© כל הזכויות שמורות למכון גל עיני. הטקסט מיועד ללימוד ולשימוש אישי בלבד.